Технические приложения геометрических свойств кривых второго порядка
Содержание
Введение 3
1 Линии второго порядка как элемент аналитической геометрии на плоскости 4
1.1 Кривые второго порядка 4
1.2 Классификация кривых второго порядка 5
1.3 Парабола 6
1.4 Эллипс 8
1.5 Гипербола 9
2 Технические приложения геометрических свойств линий второго порядка 11
2.1 Фокальные свойства линий второго порядка 11
2.1.1 Фокальное свойство эллипса 11
2.1.2 Фокальное свойство гиперболы 12
2.2 Директориальные свойства линий 14
2.2.1 Директориальное свойство эллипса 14
2.2.2 Директориальное свойство гиперболы 15
2.3 Касательные к параболе, эллипсу, гиперболе 16
2.4 Оптические свойства канонических сечений 18
2.4.1 Оптическое свойство эллипса 18
2.4.2 Оптическое свойство гиперболы 19
2.4.3 Оптическое свойство параболы 20
Заключение 21
Список используемой литературы 22
Введение
Курс геометрии содержит разнообразный материал, однако одним из ее центральных разделов является теория кривых второго порядка. Решение задач, связанных с кривыми второго порядка, иногда вызывают большие затруднения.
Некоторые понятия кривых второго порядка встречаются в физике. Например, по гиперболе движутся альфа-частицы в опыте Резерфорда при рассеивании их ядром атома; по эллипсам движутся планеты вокруг Солнца, по параболе - тело в однородном поле силы тяжести, брошенное под углом к горизонту.
Все вышесказанное подчеркивает актуальность выбранной темы курсовой работы.
Целью курсовой работы является изучение теории кривых второго порядка, а также рассмотрение технических приложений геометрических свойств второго порядка.
Объектом исследования явились кривые второго порядка.
Предметом исследования является изучение технических приложений геометрических свойств кривых второго порядка.
Цель исследования обусловила выбор следующих частных задач:
1. Рассмотреть линии второго порядка как элемент аналитической геометрии на плоскости
2. Изучить теоретические свойства линий второго порядка.
3. Изучить технические приложения геометрических свойств линий второго порядка.
4. Обобщить и систематизировать материал.
1 Линии второго порядка как элемент аналитической геометрии на плоскости
1.1 Кривые второго порядка
Пусть кривая Г задана в декартовой прямоугольной системе координат xOy уравнением:
1.2 Классификация кривых второго порядка
В зависимости от значения инварианта принята следующая классификация кривых второго порядка.
Если кривая второго порядка Г называется кривой эллиптическоготипа.
Если кривая второго порядка Г называется кривой параболическоготипа.
Если кривая второго порядка Г называется кривой гиперболическоготипа.
1.3 Парабола
Парабола — эта линия, которая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат Oxy координат имеет уравнение:
2.4 Оптические свойства канонических сечений
2.4.1 Оптическое свойство эллипса
Теорема.
Оптическое свойство эллипса: фокальные радиусы произвольной точки M0 эллипсасоставляют равные углы с касательной к эллипсу в точке M0.
Физическая интерпретация: если в фокусе эллипса поместить точечный источник света,а эллипс считать зеркалом, то отраженный эллипсом луч попадет во второй фокус.
2.4.3 Оптическое свойство параболы
Теорема.
Оптическое свойство параболы: касательная к параболе в каждой точке M0 составляет равные углы с фокальным радиусом точки M0 и с осью параболы
Заключение
Таким образом, в нашей курсовой работе мы рассмотрели кривые второго порядка, а также технические приложения геометрических свойств этих кривых.
Цель курсовой работы, заключающаяся в изучении теории кривых второго порядка, а также рассмотрении технических приложений геометрических свойств второго порядка была достигнута.
Также в процессе выполнения курсовой работы были выполнены следующие задачи: